# Algebra 1 und 2 [Lecture notes] by Burkhard Külshammer

By Burkhard Külshammer

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Im Fall a = 0 wäre 3 = 2b2 , also √b= 2 Im Fall b = √0 wäre 3 = a . Beide Fälle sind nicht möglich. Daher ist 3 algebra√ √ √ isch über Q( 2) mit dem Minimalpolynom X2 − 3. Folglich: [(Q( 2))( 3) : Q( 2)] = deg (X2 − 3) = 2. 3) liefert [Q( 2, 3) : Q] = 4. Insbesondere√ist b √ √ Q( 2, √ 3) algebraisch über√Q. Was ist das Minimalpolynom √ √ √ von 2 + 3 über √ Q? Es hat Q( 2) die Basis 1 und √ 2 über 3) : Q( 2) hat die Basis√1, √3 über √ Q(√ 2, √ √ Q und Q. Nach dem Gradsatz ist 1, 2, 3 und 2 · 3 = 6 eine Q-Basis von Q( 2, 3).

Bn ) : K] < ∞ ist. 3 ist K(b1 , . . , bn ) | K algebraisch. (ii) „⇒“ Sei M | K algebraisch. Dann ist jedes b ∈ M algebraisch über K, also auch über L. Daher ist M | L algebraisch. Ferner ist jedes b ∈ L algebraisch über K und daher ist auch L | K algebraisch. „⇐“ Seien die Körpererweiterungen M | L und L | K algebraisch und ein Element c aus M beliebig. Dann existieren Elemente b0 , . . , bn−1 ∈ L mit cn + bn−1 cn−1 + · · · + b1 c + b0 = 0. Daher ist c algebraisch über K(b0 , . . , bn−1 ).

3 Nach dem Pionier der Codierungstheorie H AMMING. 4 Die Abbildung d ist eine Metrik. 2 51 8. 1 (Linearer Code) Ein (linearer) Code der Länge n ist ein Untervektorraum C ⊆ Kn . Man nennt k := dim C die Dimension von C. Außerdem heißt δ := min { d(x, y) | x, y ∈ C, x = y } = min { w(z) | 0 = z ∈ C } Minimalabstand oder Minimalgewicht von C. Man spricht dann auch von einem [n, k, δ]-Code. 1 Die dahinterliegende Idee ist, dass C das Bild der Encode-Abbildung E : Kk → Kn ist. Für e ∈ N mit 2e < δ kann C mindestens e Fehler korrigieren.